เรียนรู้การแก้สมการพหุนาม

การแก้สมการพหุนาม

	ถ้า P(x) เป็นพหุนามดีกรี n โดยที่ n 1
	แล้ว คำตอบของสมการ P(x) = 0 จะมีทั้งหมด n คำตอบ (นับคำตอบที่ซ้ำกันด้วย)

ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนาม

P(x)

เมื่อ

I⁺

และ

เป็นจำนวนจริง

แล้ว

จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ด้วย

ถ้า P(x) เป็นพหุนามดีกรี 5 โดยที่ 3, 1 + 2i และ 3 - 4i เป็นคำตอบของสมการ P(x) = 0 จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการนี้

เนื่องจาก P(x) เป็นพหุนามดีกรี 5

แสดงว่า สมการ P(x) = 0 จะมีคำตอบทั้งหมด 5 คำตอบ

ซึ่งจากโจทย์กำหนดมาให้ 3 คำตอบ แสดงว่า เหลือคำตอบอีก 2 คำตอบ

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ว่า เศษจากการหาร P(x) ด้วย x - 2 เท่ากับ P(2)

เนื่องจาก	1 + 2i		เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ จะได้ว่า	1 - 2i		เป็นอีกหนึ่งคำตอบ
และเนื่องจาก	3 - 4i		เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ จะได้ว่า	3 + 4i		เป็นอีกหนึ่งคำตอบ

ดังนั้น คำตอบของสมการ P(x) = 0 ได้แก่ 3, 1 + 2i, 1 - 2i, 3 - 4i และ 3 + 4i

จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ 3, -4 และ 3 + i เป็นคำตอบ

เนื่องจาก โจทย์กำหนดให้เป็นสมการพหุนามดีกรี 4

ให้	P(x)	=	0	เป็นสมการพหุนามดีกรี 4
แสดงว่า สมการ	P(x)	=	0	จะมีคำตอบทั้งหมด 4 คำตอบ
ซึ่งจากโจทย์กำหนดให้มาแล้ว 3 คำตอบ แสดงว่า เหลือคำตอบอีก 1 คำตอบ
เนื่องจาก 3 + i เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ จะได้ว่า 3 - i เป็นอีกหนึ่งคำตอบด้วย
จะได้ว่า	P(x)	=	(x - 3)(x + 4)[x -(3 + i)][x - (3 - i)]
		=	(x² + x - 12)(x - 3 - i)(x - 3 + i)
		=	(x² + x - 12)(x² - 3x + xi - 3x + 9 -3i -xi + 3i - i²)
		=
		=	(x² + x - 12)(x² - 6x + 10)
		=	x⁴ - 6x³ + 10x² + x³ - 6x² + 10x - 12x² + 72x - 120
		=	x⁴ - 5x³ - 8x² + 82x - 120
แสดงว่า	x⁴ - 5x³ - 8x² + 82x - 120	=	0
ดังนั้น สมการนี้คือ	k(x⁴ - 5x³ - 8x² + 82x - 120)	=	0	เมื่อ k I และ k 0

สร้างสรรค์โดย

ทีมงานนางฟ้าวิชาคณิต
โรงเรียนบึงมะลูวิทยา
Resolution Support : 1024 x 768