1. รูปเรขาคณิตสามมิติ

1.1 ปริซึม

          ปริซึม (Prism) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีฐานทั้งสองข้าง เป็นรูปเหลี่ยมที่ เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้าน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การเรียกชื่อของปริซึม จะเรียกตามฐานของปริซึม ดังตัวอย่าง

1.2 ทรงกระบอก

          ทรงกระบอก (Cylinder) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีฐานทั้งสองข้างเป็นรูปวงกลม ที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลม ที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

1.3 พีระมิด

          พีระมิด (Pyramid) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยม  ใด ๆ ที่มียอดแหลม ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอด ร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

การเรียกชื่อของพีระมิด จะเรียกตามฐานของพีระมิด ดังตัวอย่าง

1.4 กรวย

          กรวย (Cone) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลม ที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็น ส่วนของเส้นตรง

1.5 ทรงกลม

          ทรงกลม (Sphere) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุด บนผิวโค้ง อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะเท่ากัน

2. ปริมาตรของปริซึม

หลักการ
          สำหรับปริซึมใด ๆ ปริมาตรของปริซึมหาได้จากสูตร
          ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากับ 20 ตารางหน่วย และสูง 4 หน่วย

วิธีทำ	จากสูตร	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
	จะได้	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
			=	20 x 4
			=	80 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมที่กำหนดให้ดังรูป

วิธีทำ	จากสูตร	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
	และ	พื้นที่ฐาน	=	กว้าง x ยาว
			=	3 x 4
			=	12 ตารางหน่วย
	จะได้	ปริมาตรของปริซึม	=	12 x 8
			=	96 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมที่กำหนดให้ดังรูป

วิธีทำ	จากสูตร	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
	และ	พื้นที่ฐาน	=
			=
			=	90 ตารางหน่วย
	จะได้	ปริมาตรของปริซึม	=	90 x 24
			=	2,160 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่มีขนาดดังรูป

วิธีทำ	จากสูตร	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
	และ	พื้นที่ฐาน	=
			=
			=	6 ตารางหน่วย
	จะได้	ปริมาตรของปริซึม	=	6 x 12
			=	72 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขนาดดังรูป

วิธีทำ	จากสูตร	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
	และ	พื้นที่ฐาน	=
			=

หา สูง ของฐาน โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

	จาก	c2	=	a2 + b2
		102	=	62 + b2
		100	=	36 + b2
		100 – 36	=	b2
		64	=	b2
		8	=	b
	นั่นคือ	พื้นที่ฐาน	=
			=	48 ตารางหน่วย
	จะได้	ปริมาตรของปริซึม	=	พื้นที่ฐาน x สูง
			=	48 x 40
			=	1,920 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของปริซึมที่มีขนาดดังรูป

วิธีทำ          จากสูตร ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
                    หาพื้นที่ฐานก่อน ซึ่งพิจารณาฐานจากรูป

จะพบว่า ลักษณะของฐาน ประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมและ สี่เหลี่ยมผืนผ้า

หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
               จะได้ พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
                                                         = 8 x 10
                                                         = 80 ตารางหน่วย
หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
              จะได้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม   =
                                                         =
                                                         = 25 ตารางหน่วย
              ดังนั้น พื้นที่ฐานของปริซึม = 80 + 25
                                                         = 105 ตารางหน่วย
                  จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
                 จะได้ ปริมาตรของปริซึม = 105 x 30
                                                         = 3,150 ลูกบาศก์หน่วย

ตัวอย่าง ที่ระบายน้ำมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 2 เมตร มีน้ำไหลผ่าน ด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที จงหาปริมาตรของน้ำเต็มท่อ ที่ไหลออกในเวลา 30 นาที
วิธีทำ วาดรูปคร่าว ๆ

 น้ำที่ไหลผ่านที่ระบายจะมีลักษณะรูปร่างเป็น ปริซึม
 พิจารณาข้อความ “น้ำไหลผ่านด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตร/วินาที”
 หมายความว่า ในเวลา 1 วินาที น้ำจะไหลผ่านที่ระบายได้ระยะทาง 1.5 เมตร
 ซึ่งสามารถนำมาหาปริมาตรของน้ำที่ไหลในเวลา 1 วินาทีได้ ดังนี้

 ปริมาตรของน้ำที่ไหล 1 วินาที    =   พื้นที่ฐาน x สูง
         =   (2 x 2) x 1.5
         =   6 ลูกบาศก์เมตร

 ดังนั้น ปริมาตรของน้ำที่ไหล 30 วินาที   =   6 x 30
         =   180 ลูกบาศก์เมตร
         =   25 ตารางหน่วย

3. ปริมาตรของทรงกระบอก

          พิจารณาการเปลี่ยนรูปของปริซึมจากรูปต่อไปนี้

          จากรูปข้างต้น จะพบว่า เมื่อปริซึมมีจำนวนเหลี่ยมของฐานมากขึ้นเรื่อย ๆ จะมีลักษณะรูปทรงเหมือนทรงกระบอก แต่ถึงแม้ว่า จะเหมือนมากขนาดไหน ก็ยังคงเป็นปริซึมอยู่ การหาปริมาตรก็ยังคงหาจาก พื้นที่ฐาน x สูง
          ดังนั้น เราสามารถอาศัยลักษณะการเปลี่ยนแปลงนี้ ไปใช้ในการหาปริมาตร ของทรงกระบอก ได้โดยใช้สูตรเช่นเดียวกับ ปริมาตรของปริซึม (เป็นหลักการคิดเบื้องต้น) คือ พื้นที่ฐาน x สูง

          จากปริมาตรของปริซึม                    = พื้นที่ฐาน x สูง 
จะได้ปริมาตรของทรงกระบอก                  = พื้นที่ฐาน x สูง 
แต่ฐานของทรงกระบอกเป็นรูปวงกลม 
นั่นคือ                                        พื้นที่ฐาน = Πr² 
ดังนั้น               ปริมาตรของทรงกระบอก = Πr²h

หลักการ สำหรับทรงกระบอกใด ๆ ที่มีความสูง h และรัศมีของฐาน r จะหาปริมาตร ได้จากสูตร  
                    ปริมาตรของทรงกระบอก = Πr²h

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่วงกลมซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร

วิธีทำ         จากพื้นที่วงกลม = Πr²   
                                             =

               ดังนั้นพื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของทรงกระบอก ซึ่งรัศมีของฐานยาว 3 เซนติเมตร และสูง 7 เซนติเมตร

วิธีทำ จากปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง   
                                                            = Πr²h   
                                                            =

 ดังนั้น        ปริมาตรของทรงกระบอก = 198 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง ถังเก็บน้ำมันทรงกระบอกขนาดใหญ่มีรัศมียาว 19 เมตร เก็บน้ำมันได้ 200,000 บาร์เรล ถังเก็บน้ำมันนี้สูงเท่าใด 
                              กำหนดให้             1 บาร์เรล               = 159 ลิตร  
                                                            1 ลูกบาศก์เมตร    = 1,000 ลิตร

วิธีทำ                โจทย์ให้รัศมีมาเป็นหน่วย เมตร 
                ดังนั้น จะต้องคิดปริมาตรเป็นหน่วย ลูกบาศก์เมตร

                     จาก 1 บาร์เรล = 159 ลิตร 
       จะได้ 200,000 บาร์เรล = 200,000 x 159   
                                             = 31,800,000 ลิตร
                     จาก1,000 ลิตร = 1 ลูกบาศก์เมตร 
         จะได้31,800,000 ลิตร =
                                               = 31,800 ลูกบาศก์เมตร
      นั่นคือ ถังเก็บน้ำมันนี้ เก็บน้ำมันได้ 31,800 ลูกบาศก์เมตร 
               จากปริมาตรทรงกระบอก = Πr²h 
จะได้                                   31,800 = 3.14 x 19 x 19 x h   
                                                         = 1,133.54 x h 
                                           = h  
                                                      h ≈ 28 
ดังนั้น ถังเก็บน้ำนี้มีความสูงประมาณ 28 เมตร

4. ปริมาตรของพีระมิด

          พิจารณา รูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้

          จากรูป วัสดุที่มีรูปทรงเป็นพีระมิดกับปริซึม ที่มีความสูงเท่ากัน และพื้นที่ฐานเท่ากัน เมื่อใช้วัสดุรูปทรงพีระมิด 3 อัน ตักทรายให้เต็ม แล้วนำมาเทใส่วัสดุรูปทรงปริซึม จะพบว่าเต็มพอดี

          จึงได้ว่า วัสดุทรงปริซึม มีปริมาตรเป็น 3 เท่าของวัสดุทรงพีระมิด หรือ วัสดุทรงพีระมิด มีปริมาตรเป็น 1 ใน 3 ของวัสดุทรงปริซึมที่มีพื้นที่ฐานและสูงเท่ากัน

หลักการ สำหรับพีระมิดใด ๆ ปริมาตรของพีระมิดหาได้จากสูตร  
                    ปริมาตรของพีระมิด = 

ตัวอย่าง พีระมิดแก้วฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 3 นิ้ว ยาว 4 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว ใช้สำหรับการทดลองเรื่องการกระจายของแสง ปริมาตรของพีระมิดนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ            จากปริมาตรของพีระมิด =

                                         หาพื้นที่ฐาน = กว้าง x ยาว   
                                                              = 3 x 4   
                                                              = 12 ตารางนิ้ว 
                    จะได้ปริมาตรของพีระมิด =

                                                              = 20 ลูกบาศก์นิ้ว

5. ปริมาตรของกรวย

หลักการ สำหรับกรวยใด ๆ ที่มีความสูง h และฐานมีรัศมียาว r ปริมาตรของกรวย
                    หาได้จากสูตร  ปริมาตรของกรวย =

ตัวอย่าง กรวยตันอันหนึ่ง สูง 14 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 6 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวยนี้
วิธีทำ เนื่องจาก เส้นผ่านศูนย์กลาง ยาว 6 เซนติเมตร 
                    จะได้ รัศมีของฐานยาว 3 เซนติเมตร 
                    จากปริมาตรของกรวย = 
                                                         = 
                 ดังนั้นปริมาตรของกรวย = 132 ลูกบาศก์เซนติเมตร

6. ปริมาตรของทรงกลม

หลักการ สำหรับทรงกลมใด ๆ ที่มีรัศมียาว r ปริมาตรของทรงกลม หาได้จากสูตร  
                 ปริมาตรของทรงกลม =

ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมียาว 3 เซนติเมตร
วิธีทำ จากปริมาตรของทรงกลม = 
                                                     = 
        ดังนั้นปริมาตรของทรงกลม = 113.04 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง ถ้าจะหล่อลูกเปตองเหล็กที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 8 เซนติเมตร จำนวน 12 ลูก จะต้องใช้เหล็กในการหล่อเท่าใด
วิธีทำ ลูกเปตองเหล็ก มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 8 เซนติเมตร 
                                  จะได้ว่า มีรัศมียาว 4 เซนติเมตร 
                                  หาปริมาตรของเหล็กที่ใช้หล่อลูกเปตอง 1 ลูก 
                                  จากปริมาตรของทรงกลม =  
                                                                            = 
                             จะได้ปริมาตรลูกเปตอง 1 ลูก = 267.95 ลูกบาศก์เซนติเมตร 
                          ดังนั้นปริมาตรลูกเปตอง 12 ลูก =12 x 267.95   
                                                                             = 3,215.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร 
นั่นคือการหล่อลูกเปตอง 12 ลูก จะต้องใช้เหล็กในการหล่อ 3,215.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร

7. พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

หลักการ การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใด ๆ คือ การหาพื้นที่ของ พื้นที่ผิวทั้งหมด ของรูปเรขาคณิตนั้น

          พิจารณาภาพที่ได้จากการคลี่รูปปริซึมต่อไปนี้

          พิจารณาภาพที่ได้จากการคลี่รูปทรงกระบอกต่อไปนี้

          รูปข้างต้น จะพบว่าพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก จะประกอบไปด้วย 2 ส่วนหลัก ๆ คือ พื้นที่ฐาน และพื้นที่ผิวข้าง ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดจะต้องหาจาก

1. พื้นที่ฐาน ซึ่งจะแตกต่างกันไปตามลักษณะของฐาน
2. พื้นที่ผิวข้าง ซึ่งไม่ว่าจะเป็นปริซึมหรือทรงกระบอก พื้นที่ผิวข้างจะเป็น รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหาพื้นที่ได้จากสูตร กว้าง x ยาว เหมือนกัน โดยที่ด้านยาวจะเท่ากับความยาวของเส้นรอบฐาน ขณะที่ด้านกว้าง จะเท่ากับความสูง

หลักการ พื้นที่ผิวของปริซึมใด ๆ หาได้จากสูตร  
                              พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐานทั้งสอง + พื้นที่ผิวข้าง  
                              พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐานทั้งสอง + (ความยาวเส้นรอบฐาน x สูง)
      พื้นที่ผิวของทรงกระบอกใด ๆ หาได้จากสูตร  
                    พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ฐานทั้งสอง + พื้นที่ผิวข้าง  
                    พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ฐานทั้งสอง + (ความยาวเส้นรอบฐาน x สูง)  
                    พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2Πr² + 2Πrh

ตัวอย่าง กำหนดปริซึมมีขนาดดังรูป 

                     จงหา 
                              1.   พื้นที่ฐาน 
                              2.   พื้นที่ผิวข้าง 
                              3.   พื้นที่ผิวของปริซึม

วิธีทำ 1.   พื้นที่ฐาน 
เนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม จะได้พื้นที่ฐาน =
                                                                             =
                                                    ดังนั้นพื้นที่ฐาน = 30 ตารางเซนติเมตร

      2.   พื้นที่ผิวข้าง 
                    จากรูปจะได้  ความยาวเส้นรอบฐาน = 5 + 12 + 13 
                                                                               = 30 เซนติเมตร 
                                                    จากพื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน x สูง   
                                                                               = 30 x 15 
                                                  ดังนั้นพื้นที่ผิวข้าง = 450 ตารางเซนติเมตร
      3.   พื้นที่ผิวของปริซึม 
                                        จากพื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐานทั้งสอง +พื้นที่ผิวข้าง   
                                                                             = (2 x 30) + 450   
                                                                             = 60 + 450 
                                     ดังนั้นพื้นที่ผิวของปริซึม = 510 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่าง กำหนดทรงกระบอกมีขนาดดังรูป 

                     จงหา 
                                        1.   พื้นที่ฐาน 
                                        2.   พื้นที่ผิวข้าง 
                                        3.   พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

วิธีทำ 1.   พื้นที่ฐาน 
                    เนื่องจากฐานของทรงกระบอกเป็นรูปวงกลม 
                                        จะได้พื้นที่ฐาน = πr²  
                                                                 = 3.14 x 5² 
                                       ดังนั้นพื้นที่ฐาน = 78.5 ตารางเซนติเมตร
      2.   พื้นที่ผิวข้าง 
                    จากรูปจะได้  
                        ความยาวเส้นรอบฐาน = 2 Πr   
                                                            = 2 x 3.14 x 5   
                                                            = 31.4 
                                 จากพื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน x สูง   
                                                            = 31.4 x 5 
                               ดังนั้นพื้นที่ผิวข้าง = 157 ตารางเซนติเมตร
      3.   พื้นที่ผิวของทรงกระบอก 
                    จากพื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ฐานทั้งสอง +พื้นที่ผิวข้าง   
                                                                    = (2 x 78.5) + 157   
                                                                    = 175 + 157 
                  ดังนั้นพื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 332 ตารางเซนติเมตร

เอกสารอ้างอิง

โชคชัย สิริหาญอุดม. (2552). แบบฝึกหัด คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้ พื้นฐานและเพิ่มเติม. กรุงเทพ ฯ : เดอะบุ๊ค.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2551). ขยันก่อนสอบ คณิตศาสตร์ ม.3. กรุงเทพ ฯ : แม็ค.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2552). คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1. กรุงเทพ ฯ : แม็ค.

เลิศ สิทธิโกศล, ผศ. Math Review คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรุงเทพ ฯ : ไฮเอ็ดพิบลิชชิ่ง.

วินิจ วงค์รัตนะ, ผศ. คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.1-2-3. กรุงเทพ ฯ : ไฮเอ็ดพิบลิชชิ่ง.

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2552). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน. กรุงเทพ ฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว

สุเทพ จันทร์สมบูรณ์กุล. สื่อเสริมสาระการเรียนรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรุงเทพ ฯ : เดอะบุ๊ค.

http:www.blwsc.ac.th/iMath

แบบทดสอบก่อนเรียน

http://www.thaigoodview.com/node/132600?page=0%2C5

ย่อ