พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตร เนื้อหาประกอบด้วย

พีระมิด

การเรียกชื่อพีระมิด
ส่วนประกอบของพีระมิด
การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด
พื้นที่ผิวของพีระมิด
ปริมาตรของพีระมิด
ตัวอย่างโจทย์

ปริซึม

การเรียกชื่อปริซึม
ส่วนประกอบของปริซึม
พื้นที่ผิวของปริซึม
ปริมาตรของปริซึม
ตัวอย่างโจทย์

ทรงกลม

ส่วนประกอบของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลม
ตัวอย่างโจทย์

ทรงกระบอก

ส่วนประกอบของทรงกระบอก
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก
พื้นที่ิผิวของทรงกระบอกกลวง
ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง
ตัวอย่างโจทย์

กรวย

ส่วนประกอบของกรวย
ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และ สูงเีอียง (l)
พื้นที่ผิวของกรวย
ปริมาตรของกรวย
ตัวอย่างโจทย์

เพิ่มเติม

สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ
แหล่งที่มา

พีระมิด

          รูปเรขาคณิตสามมิติ มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ผิวด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจำนวนเท่ากับจำนวนด้านของฐาน มีจุดยอดร่วมกันเพียงจุดเดียว.

1. การเรียกชื่อพีระมิด

          การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น

2. ส่วนประกอบของพีระมิด

          พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง

          พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

*ข้อสังเกต

          1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
          2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน
          3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกัับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน
          4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

3. การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด

          การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน

** การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

          3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน

Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB² + 3² = 5²
AB² = 5² – 3²
AB² = 16
AB = 4
ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว

          3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง

Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

กำหนดให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB² = 12² + 5²
AB² = 144 + 25
AB² = 169
AB = 13
ตอบ สูงเอียงยาว 13 นิ้ว

          3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง

Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AC² + 5² = 13²
AC² = 169 – 25
AC² = 144
AC = 12
ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว

4. พื้นที่ผิวของพีระมิด

          4.1) พื้นที่ผิวข้าง

          เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน)
หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง
จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง

ดังนั้น

สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
จะได้ว่า

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

พิสูจน์

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
= พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน
= (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน —- จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน
= (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน
= ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง
↓
= ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง
ซตพ.

          4.2) พื้นที่ผิว

          พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด

ดังนั้น

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

สรุป

          1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
          และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด
          2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
          3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
          พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
          4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

ตัวอย่างโจทย์

Ex.4 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้างพีระมิด

วิธีทำ เนื่องจาก สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

แต่โจทย์ไม่กำหนดความยาวสูงเอียง
ดังนั้น ต้องหาความยาวสูงเอียงก่อน

ขั้นที่ 1 หาสูงเอียง

ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว, และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
จะได้่ AB = 13
้ ดังนั้นสูงเอียงยาว 13 นิ้ว

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

ได้พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13
= ½ × 40 × 13
= 260 ตารางนิ้ว
ตอบ 260 ตารางนิ้ว

5. ปริมาตรของพีระมิด

          ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ
          การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม

จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง (จะได้เรียนในบทต่อไป)
เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม

เมื่อทำการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม
ดังนั้น

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง

Ex.5 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = ¹/₃ × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
= ¹/₃ × ( 22 × 22 ) × 15
= 22 × 22 × 5
= 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.

Ex.6 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 25 เซนติเมตร

วิธีทำ เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง

แต่โจทย์ไม่ได้กำหนดส่วนสูงมากให้
ดังนั้น ต้องหาส่วนสูงก่อน

ขั้นที่ 1 หาส่วนสูง
ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 ÷ 2 = 7 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
AC² + 7² = 25²
AC² = 625 – 49
AC² = 576
AC = 24
เพราะฉะนั้น ส่วนสูงยาว 24 นิ้ว

ขั้นที่ 2 หาปริมาตร
สูตรของปริมาตรพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = ¹/₃ × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
= ¹/₃ × ( 14 × 14 ) × 24
= 14 × 14 × 8
= 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 1,568 ลบ.ซม.

ปริซึม

          รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหัวท้าย (ฐาน) เป็นรูปเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ ด้านข้างแต่ละด้าน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

1. การเรียกชื่อปริซึม
          ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

2. ส่วนประกอบของปริซึม

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

          3.1) พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

          3.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

4. ปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1

จงหาพื้นที่ผิวของแท่งปริซึมสามเหลี่ยมนี้

วิธีทำ

จากสูตร

พื้นทีฺ่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

ขั้นที่ 1 หาพื้นที่ผิวข้าง
จากสูตร พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ความยาวรอบฐาน × ความสูง
จาก ทบ.ปีกาโกรัส เมื่อพิจารณาที่หน้าตัดแล้ว
จะได้ว่า ความยาวของหน้าตัด ด้านที่โจทย์ยังไม่ได้กำหนด ยาว = 10 หน่วย
ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ( 6 + 8 + 10 ) × 12
= 288 ตารางหน่วย

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 × พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม
= 2 × (½ × ฐาน × สูง)
= 1 × 6 × 8
= 48
ดังนั้น พื้นที่หน้าัตัดหัวท้าย = 48 ตารางหน่วย

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่่ผิวทั้งหมด
พื้นทีฺ่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
= 288 + 48
= 336 ตารางหน่วย
ตอบ 336 ตารางหน่วย

Ex.2 ปริซึมฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีด้านยาว ยาวด้านละ 4 นิ้ว สูง 8 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวของปรึซึม

วิธีทำ เนื่องจากฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า
ดังนั้น เส้นรอบรูป = 4 × 6
= 24 นิ้ว

พื้นที่่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน × สูง
= 24 × 8
= 192 ตารางนิ้ว
(สูตรพื้นที่หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = ^3√3/₂ × ด้าน²)
พื้นที่ฐานรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าุมุมเท่า = ^3√3/₂ × 4²
= 24√3 ตารางนิ้ว
พื้นที่ผิวของปริซึมนี้ = พื้่นที่ผิวข้าง + 2×(พื้นที่ฐาน)
= 192 + 2(24√3)
= 192 + 48√3
ตอบ 192 + 48√3 ตารางนิ้ว

Ex.3 จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้

วิธีทำ สูตร พื้นที่ฐานปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
= 1/2 × (7 + 13) × 9
= 90 ตารางหน่วย

สูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง
= 90 × 24
= 2,160 ลูกบาศก์หน่วย
ตอบ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

ทรงกลม

          รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโคงอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน 

          จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม และระยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

1. ส่วนประกอบของทรงกลม

2. พื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r²

3. ปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม = ⁴/₃¶r³

เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่าไร

วิํธีทำ ขันมีรัศมี 7 นิ้ว
พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2¶r²
= 2 × ²²/₇ × 7 × 7
= 308 ตารางนิ้ว
ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308 ตารางนิ้ว
ตอบ 308 ตารางนิ้ว

Ex.2 ตะกั่วทรงกลม 3 ลูก มีรัศมี 3, 4 และ 5 นิ้ว ตามลำดับ เมื่อหลอมเป็นลูกเดียวจะได้่รัศมียาวกี่นิ้ว

วิธีทำ ให้ R แทนรัศมีของตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว
ปริมาตรตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว = ผลบวกของปริมาตรตะกั่วทรงกลม 3 ลูก
⁴/₃¶R³ = (⁴/₃¶ × 3³) +(⁴/₃¶ ×4³) + (⁴/₃¶ × 5³)
⁴/₃¶R³ = ⁴/₃¶ × (3³ + 4³ + 5³)
R³ = 3³ + 4³ + 5³
R³ = 216
R = 6

ดังนั้น ตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้วมีรัศมียาว 6 นิ้ว
ตอบ รัศมียาว 6 นิ้ว

ทรงกระบอก

          รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ

1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก

2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกทรงกระบอกกลวง

          2.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป

อธิบายภาพเพิ่มเติม

          1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh

          2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r²

          2.2) พื้นที่ผิว

          พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r²)

          เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน
          และ h แทนความสูงทรงกระบอก

3. ปริมาตรของทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r²h

4. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลวง

เมื่อ r คือรัศมีภายใน
R คือ รัศมีภายนอก
h คือ ส่วนสูง

จะได้ว่า
          1) พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง = 2 (¶R² – ¶r² )
          2. พื้นที่ผิวด้านนอก = 2¶Rh
          3. พื้นที่ผิวด้านภายใน = 2¶rh
          พื้นที่ผิววงแหวน = 2 (¶R² – ¶r² ) + 2¶Rh + 2¶rh

5. ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง (วงแหวน)

เมื่อ h คือ ส่วนสูงของทรงกระบอกกลวง
r คือ รัศมีภายใน (รัศมีของทรงกระบอกเล็ก)
R คือ รัศมีภายนอก (รัศมีของทรงกระบอกใหญ่)

ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ – ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก
= ¶R²h – ¶r²h
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ¶h(R² – r²)

ตัวอย่างโจทย์

กรวย

          รูปเรขาคณิตสามมิติสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

1. ส่วนประกอบของกรวย

2. ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และ สูงเีอียง (l)

          ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า r² + h² = l²

3. พื้นที่ผิวของกรวย

          3.1) พื้นทีฺฺ่ผิวข้าง

เมื่อคลี่กรวยออก จะได้่ดังรูป

                    1) ซ้าย : ส่วนของฐาน พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม ดังนั้น

พื้นที่ฐาน = ¶r²

                    2) ขวา : ส่วนของข้างกรวย เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

พื้นที่ผิวข้างของกรวย = ¶rl

          3.2) พื้นที่ผิว

          เนื่องจาก พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
          ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r²
          หรือ = ¶r(l + r)

4. ปริมาตรของกรวย

ถ้าลองนำทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย
จะได้ว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร = ¶r²h

สร้างกรวยแต่ละอันมีรัศมียาว r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง h หน่วยเท่ากับส่วนสูงทรงกระบอก
ถ้่าตวงทราย 3 กรวยใส่ จะได้เต็มทรงกระบอกพอดี
สรุปได้ว่า ปริมาตรกรวย = ¹/₃¶r²h

เมื่อ r แทนรัศมีกรวย
และ h แทนส่วนสูงของกรวย

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้

วิธีทำ เนื่องจาก พื้นที่ิผิวกรวย = ¶rl + ¶r²
ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหา คือ รัศมี และ สูงเอียง (เพื่อจะนำไปแทนค่าลงในสูตรหาพื้นที่ผิวกรวย)
ขั้นที่ 1 หารัศมี
โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 ซม.
ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 12 ÷ 2 = 6 ซม.
ขั้นที่ 2 หาสูงเอียง

จากทบ.ปีทาโกรัส จะได้ว่า

r² + h² = l²
6² + 8² = l²
36 + 64 = l²
l² = 100
ดังนั้น l = 10 ซม.

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวของกรวย

จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = ¶r(l + r)
แทนค่าสูตร จะได้ = ²²/₇ × 6 × (10 + 6)
= ¹³²/⁷ × 16
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย ≈ 301.71 ตร.ซม.

ตอบ 301.71 ตร.ซม.

Ex.2 กรวยใส่ขนมมีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 3 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหาความจุของกรวยนี้

วิธีทำ
เนื่องจากสูตรปริมาตร (หรือความจุ) ของกรวย = ¹/₃¶r²h
ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหาคือ รัศมี (r) และ ความสูง (h)

แต่โจทย์กำหนดความสูงมาให้แล้ว ก็หาแต่รัศมี

ขั้นที่ 1 หารัศมี
โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 3 ซม.
ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 3 ÷ 2 = 1.5 ซม.

ขั้นที่ 2 หาปริมาตรกรวย
จากสููตร ปริมาตรกรวย = ¹/₃¶r²h
= ¹/₃ × ²²/₇ × (1.5)² × 10
ดังนั้น ปริมาตรกรวย = 35.57 ลบ.ซม.
ตอบ 357 ลบ.ซม.

สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ

          การหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ อาจจำเป็นสำหรับการหาพื้นที่ฐานของรูปสามมิติ จึงควรทราบเอาไว้

แหล่งอ้างอิง

• http://etc.usf.edu/clipart/4000/4068/cylinder_1_lg.gif
• ttp://www.learningthings.com/images/LER0922_100.gif
• http://static.promopeddler.com/prodpics/thumb_150/4720000/4726400.jpg
• ttp://images.learningresources.com/images/products/en_us/detail/prod0909_dt.jpg
• ttp://tc.mengrai.ac.th/nalinlak/L2.htm
• ttp://school.discoveryeducation.com/clipart/category/math0001.html
• http://sans.web.psi.ch/SANSSoft/versions/doc/html/sphere.png
• http://www.absoluteastronomy.com/topics/Cone
• http://www.historyforkids.org/scienceforkids/math/geometry/cylinder.htm
• http://www.sensemath.com/images/column_1256517812/Volume_of_Shape.pdf
• http://202.143.159.117/learnsquare/courses/1/Unit08_part01_area_capacity…
• วารสาร แม็ค ม.ต้น ฉบับที่ 1 ปีที่ 25
• learners.in.th